Chercheur/chercheuse sur la théorie spectrale en homogénéisation numérique (H/F)

Missions :
Le projet proposé fait partie d'un programme de recherche en mécanique des solides à l'interface avec d'autres disciplines. Il porte principalement sur les méthodes multi-échelles en mécanique, c'est-à-dire la théorie de l'homogénéisation et son implémentation numérique dans des outils de calcul scientifique pour l'ingénierie. Situé au carrefour de plusieurs disciplines, dont les mathématiques appliquées et l'électromagnétisme, notre objectif est d'apporter un regard original et novateur sur un certain nombre de problèmes touchant aux méthodes multi-échelles aujourd'hui largement utilisées en mécanique du solide. En jetant des ponts avec les domaines de la photonique, de la plasmonique et de l'étude mathématique des opérateurs intégraux, nous visons à proposer une théorie spectrale qui permettra d'améliorer la modélisation et les performances de méthodes numériques d'homogénéisation en mécanique. Ceci nous permettra de progresser dans la compréhension et la prédiction du comportement des matériaux hétérogènes complexes tels que les composites, qui sont des matériaux à hautes performances aujourd'hui largement utilisés dans des domaines tels que l'aéronautique et l'espace, la construction durable et la production d'énergie.

En mécanique des solides, les méthodes d'homogénéisation numérique basées sur la transformée de Fourier rapide (FFT) à partir d'images de microstructures constituent des approches compétitives pour aborder les problèmes matériaux aux petites échelles. Ces approches reposent sur une formulation intégrale des équations régissant le problème local dans un volume élémentaire représentatif V. Cela a ouvert la voie à de nombreux développements et outils numériques largement utilisés aujourd'hui en homogénéisation numérique. La formulation utilisée est basée sur l'équation intégrale dite de Lippmann-Schwinger, une équation que l'on retrouve dans de nombreux domaines tels que l'étude de la diffraction en mécanique quantique, la propagation des ondes en électromagnétisme mais aussi en mécanique classique (acoustique ou élastique). Cette équation régit la solution en déformation dans V pour un chargement macroscopique donné. Dans le cas linéaire, elle s’exprime en fonction de l'opérateur de Green associé à un milieu de référence homogène et de la fluctuation des propriétés du matériau considéré autour de cette référence. L'introduction de ce milieu de comparaison est une nécessité pour la mise en œuvre des algorithmes basés sur la FFT. Cependant, une telle réécriture du problème local de mécanique introduit une fluctuation matérielle qui induit un changement de signe fictif.


Activités :
Dans ce contexte, ce projet se concentre sur l'opérateur intégral impliqué dans l'équation ci-dessus et sur ses propriétés. Le programme de recherche proposé est divisé en deux axes principaux :
- Équation de Lippmann-Schwinger et opérateurs intégraux de surface : Le premier axe de recher
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