Méthodes d'homotopie pour l'algèbre différentielle (H/F)

Sujet de thèse :
Comment prédire le mouvement des planètes, la propagation d'une épidémie ou l'évolution d'un réseau de réactions chimiques ? Voici quelques-uns des nombreux problèmes qui peuvent être modélisés par des équations différentielles ordinaires (EDO). La résolution de ces équations a une longue histoire et reste un problème important en science et en technologie.

L'algèbre différentielle est une branche des mathématiques et de l'informatique qui s'intéresse à l'étude des équations différentielles d'un point de vue symbolique et informatique. L'idée est d'utiliser les méthodes algébriques telles que la réécriture ou l'élimination des variables pour simplifier ou transformer les équations différentielles.

En outre, des algorithmes ont été développés et mis en œuvre pour ce type d'élimination de quantificateurs et d'autres tâches fondamentales de l'algèbre différentielle.

L'approche traditionnelle de l'algèbre différentielle consiste à raisonner sur les équations différentielles elles-mêmes en tant qu'expressions symboliques. L'un des inconvénients de cette approche est que les résultats intermédiaires du calcul peuvent être des expressions très grandes (imaginez la différenciation du produit y1(z) y2(z) y3(z) dix fois !) L'objectif de la présente proposition est de travailler systématiquement avec des solutions en séries formelles. Ces solutions sont déterminées de manière unique par les équations différentielles et un nombre suffisant de conditions initiales. Par exemple, les solutions en séries de y'' + (y')^2 = 0 sont y_(α,β)(z) ≔ α+log (1+β*z) = α + βz - 1/2 β^2 z^2 + ⋯, avec les conditions initiales y_(α,β)(0)=α, y_(α,β)'(0)=β. Inversement, toute équation différentielle dont y_(α,β) est solution est une conséquence logique de y''+(y')^2=0.

De ce point de vue, les systèmes d'équations différentielles donnent lieu à des systèmes d'équations algébriques sur des coefficients de séries formelles. Par exemple, l'équation y''+(y')^2=0 dans y=y_0 + y1 z + y2 z^2+⋯ est équivalente au système infini d'équations 2 y2 + y1^2 = 6 y3 + 4 y1 y2 = 12 y4 + 6 y1 y3 + 4 y2^2 = ⋯ = 0 en y0, y1, ..... Les troncatures de ces systèmes peuvent être résolues en utilisant des homotopies numériques. Cela signifie que nous étudions l'effet de petites perturbations des conditions initiales α,β sur la solution y_(α,β). Nous pouvons également envisager des déformations des équations elles-mêmes en équations qui sont généralement plus faciles à résoudre.

Lorsqu'elles sont efficaces, les techniques d'homotopie numérique nous permettent de déterminer les solutions des séries formelles numériques pour notre système original d'équations différentielles. Un dernier défi consiste à retrouver la ou les équations différentielles les plus simples dont ces séries formelles numériques sont la solution. Cela permet généralement de simplifier le système original d'équations différentielles ou d'éliminer certaines fonction
Voir plus sur le site emploi.cnrs.fr...