Contrat doctoral Probabilités et statistiques Orléans Tours H/F

Sujet de thèse :
Sujet de thèse
Proposé par : L. Delsol & M. Zani (Université d’Orléans) ; M. Peigné & K. Raschel (Université de Tours)
Propriétés de persistance de marches aléatoires et de processus autorégressifs sur ℝ : perspectives probabilistes et statistiques
Soit θ un paramètre fixé supérieur à 1. Considérons une suite (ξₙ)ₙ≥0 de variables aléatoires réelles centrées, indépendantes et identiquement distribuées, de loi μ, définies sur un espace probabilisé (Ω, ℱ, ℙ). On définit :
• Y₀(θ) = 0
• Yₙ(θ) = ξ₁ + θξ₂ + ... + θⁿ⁻¹ξₙ
On définit aussi :
• p(θ) = limₙ→∞ pₙ(θ), où pₙ(θ) = ℙ(S₁(θ), ..., Sₙ(θ) positifs).
Ici, θ est appelé paramètre de couplage, et pₙ(θ) représente la probabilité de persistance jusqu’au temps n pour la suite (Yₖ(θ))ₖ≥0.
La quantité p(θ) est positive pour θ plus grand que 1. On s’intéresse en particulier au comportement de la fonction θ ↦ p(θ) au voisinage de 1. Il est connu que p(1) = 0, car le processus autorégressif devient une marche aléatoire lorsque le paramètre de couplage vaut 1.
Il a été conjecturé que cette fonction se comporte universellement comme la racine carrée de (θ − 1) dans une région voisine de 1. Dans un travail récent actuellement en préparation, L. H. Ngo (Université nationale d’éducation de Hanoï), M. Peigné et K. Raschel ont établi cette propriété sous des hypothèses restrictives (notamment, la mesure μ doit admettre une densité à support compact). Leur approche s’appuie sur une idée due à Z. Kabluchko (Université de Münster) et repose sur la convergence du processus (Yₖ(θ))ₖ≥0, convenablement normalisé, vers un processus de Ornstein-Uhlenbeck explosif. Ce travail dépend fortement de résultats dus à D. Denisov, A. Sakhanenko et V. Wachtel sur des marches aléatoires à incréments non identiquement distribués.

Questions de recherche
1. Extension des résultats d’universalité
La première question consiste à étendre ce résultat d’universalité à des lois de probabilité à support non borné, qui n’admettent pas nécessairement une densité par rapport à la mesure de Lebesgue. Cela nécessite d’étendre les résultats antérieurs sur les fluctuations de marches aléatoires construites à partir de tableaux triangulaires, en adaptant l’approche aux particularités du modèle autorégressif.
2. Probabilité de persistance pour des marches aléatoires oscillantes
Le comportement de la probabilité de persistance lorsque n → ∞ se pose naturellement aussi pour d’autres modèles que les « marches aléatoires classiques ». En particulier, le problème reste entièrement ouvert pour les marches aléatoires oscillantes, où les incréments sont régis par deux mesures de probabilité distinctes sur ℝ⁺ et ℝ⁻. L’approche introduite récemment, basée sur la théorie du renouvellement d’une suite apériodique d’opérateurs, semble prometteuse pour traiter ce problème difficile. Les applications sont nombreuses, notamment en dynamique des populations en milieux aléatoires non homogènes.
3. T
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