Doctorant : Méthodes par homotopie pour l'algèbre différentielle (H/F)

Sujet de thèse :
Comment prédire le mouvement des planètes, la propagation d’une épidémie ou l’évolution d’un réseau de réactions chimiques ? Voici quelques-uns des nombreux problèmes qui peuvent être modélisés par des équations différentielles ordinaires (EDO). La résolution de ces équations a une longue histoire et reste un problème important en science et en technologie.

L’algèbre différentielle est une branche des mathématiques qui s’intéresse à l’étude des équations différentielles d’un point de vue algébrique et symbolique. Sa philosophie générale consiste à doter la résolution des équations différentielles d’un cadre général, de manière similaire à la géométrie algébrique, qui fournit des fondements pour la résolution des systèmes polynomiaux. Du point de vue constructif, l’idée est d’utiliser des méthodes algébriques comme la réécriture ou l’élimination de variables pour simplifier ou transformer les équations différentielles. Considérons, par exemple, l’énoncé « il existe une dépendance linéaire entre les fonctions y₁(z), y₂(z), y₃(z) avec des coefficients constants ». Cet énoncé peut s’écrire sous la forme :

∃ c₁, c₂, c₃, (c₁ ≠ 0 ∨ c₂ ≠ 0 ∨ c₃ ≠ 0) ∧ (c₁ y₁ + c₂ y₂ + c₃ y₃ = 0).

De manière similaire au célèbre résultat de Tarski pour les ensembles constructibles, des théorèmes fondamentaux en algèbre différentielle garantissent que le quantificateur existentiel peut être éliminé : la condition peut être exprimée comme une combinaison logique d’équations et d’inéquations ne faisant intervenir que y₁, y₂, y₃. Dans ce cas, la condition est en effet équivalente à l’annulation du wronskien de y₁, y₂, y₃. De plus, des algorithmes ont été développés et implémentés pour ce type d’élimination de quantificateurs et d’autres tâches fondamentales de l’algèbre différentielle.

L’approche traditionnelle de l’algèbre différentielle consiste à raisonner sur les équations différentielles elles-mêmes en tant qu’expressions symboliques. L’un des inconvénients de cette approche est que les résultats intermédiaires des calculs peuvent être des expressions extrêmement volumineuses (imaginez la différentiation dix fois du produit y₁ y₂ y₃ !). Une approche alternative pourrait consister à travailler avec certaines solutions des équations d’intérêt. À cette fin, le théorème d’inclusion de Seidenberg implique que les solutions sous forme de séries entières sont denses dans l’ensemble de toutes les solutions, par rapport à une topologie appropriée (appelée topologie de Kolchin). Par conséquent, l’objectif de la présente proposition est de travailler systématiquement avec des solutions sous forme de séries entières plutôt qu’avec les équations elles-mêmes. De telles solutions sont déterminées de manière unique par les équations différentielles et un nombre suffisant de conditions initiales. Par exemple, les solutions sous forme de séries entières de y’’ + (y’)² = 0 sont

y₍α,β₎(z) = α + log (1 + β z) = α +
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