Offre Posr-Doc : Factorisation d'opérateurs différentiels linéaires utilisant des techniques p-adiques

Missions :
L'objectif principal de cette proposition de Post-Doc est de développer des algorithmes pour factoriser des opérateurs différentiels linéaires en utilisant des techniques p-adiques.
Activités :
La question centrale de cette proposition porte sur la résolution symbolique efficace des équations différentielles linéaires
y^(r)(x) + a_(r-1)(x) y^(r-1)(x) + ⋯ + a_0(x) y(x) = 0, (1)
où les fonctions a_i sont généralement des fonctions rationnelles à coefficients rationnels. Les équations de ce type sont omniprésentes dans la théorie des fonctions spéciales, et apparaissent naturellement en physique, mais aussi, par exemple, en combinatoire (séries génératrices différentielles finies) ou en géométrie algébrique (équations de Picard‑Fuchs).
Un sous‑problème particulièrement important dans le programme de recherche de solutions de (1) consiste à factoriser l'opérateur différentiel linéaire L ≔ ∂^r + a_(r-1) ∂^(r-1) + ⋯ + a_0 dans l'anneau non commutatif ℚ(x)[∂]. Trois approches principales ont été proposées : les méthodes traditionnelles d'algèbre informatique [3], la réduction du problème modulo un nombre premier p [6, 2], et les méthodes symbolique‑numériques [4, 1].

La présente proposition de postdoc concerne la deuxième approche modulaire. L'état de l'art actuel [5] montre qu'il existe des algorithmes efficaces pour factoriser la réduction L mod p ∈ 𝔽_p(x)[∂] de l'opérateur L modulo p. Une première tâche consiste à relever cet algorithme en un algorithme de factorisation p-adique sur ℚ_p(x). Notre deuxième objectif est d'utiliser cela pour développer un algorithme de factorisation sur ℚ(x) ou sur ℚ*(x), où ℚ* désigne la clôture algébrique de ℚ. Nous prévoyons que le second problème présentera certaines analogies avec l'approche symbolique‑numérique de [4, 1].

Au‑delà de la factorisation des opérateurs différentiels linéaires, le postdoc pourra être l'occasion de développer des techniques p-adiques pour résoudre des équations différentielles non linéaires.

[1] F. Chyzak, A. Goyer, et M. Mezzarobba. Symbolic-numeric factorization of differential operators. Technical Report https://hal.inria.fr/hal-03580658v1, HAL, 2022.
[2] T. Cluzeau. Algorithmique modulaire des équations différentielles linéaires. PhD thesis, Université de Limoges, 2004.
[3] M. van Hoeij. Factorization of linear differential operators. PhD thesis, Univ. of Nijmegen, The Netherlands, 1996.
[4] J. van der Hoeven. Around the numeric-symbolic computation of differential Galois groups. JSC, 42:236–264, 2007.
[5] R. Pagès. Factorisation of linear differential operators in positive characteristic. PhD thesis, U. of Bordeaux, 2024.
[6] M. van der Put. Differential equations modulo p. Compositio Mathematica, 97:227–251, 1995.
Contexte de travail :
Le/la candidat(e) fera partie de l'équipe MAX de calcul formel au LIX (laboratoire d'informatique de l'École polytechnique) et travaillera pour le projet ERC ODELIX.