Algorithmes pour l'algèbre différentielle asymptotique (H/F)

Sujet de thèse :
De la même manière que l’algèbre différentielle a été introduite pour étudier les solutions des équations différentielles d’un point de vue purement formel, la théorie des H-corps vise à analyser le comportement asymptotique de ces solutions sous un angle formel.

Parmi les exemples importants de H-corps figurent le corps des transséries 𝕋 et les corps de Hardy. Une transsérie est une série généralisée pouvant inclure récursivement des exponentielles et des logarithmes. Par exemple :
∫ e^(e^x) = e^(e^x - x) + e^(e^x - 2x) + 2 e^(e^x - 3x) + ...
W(x) = (x e^x)^(-1) = log x - log log x + (log log x)/(log x) + ...
sont des transséries lorsque x → ∞. Un corps de Hardy est un sous-corps différentiel de l’anneau des germes de fonctions réelles différentiables à l’infini. La théorie des H-corps offre un cadre unifié pour ces deux exemples, malgré leur nature distincte (purement formelle vs. analytique).

Objectif de la thèse : Développer une version effective de la théorie des H-corps, tout en explorant ses applications aux deux exemples principaux que sont les transséries et les corps de Hardy.
Le langage des H-corps comprend les opérations de corps (0, 1, +, -, ×), la dérivation ∂, et l’ordre ≤. Les axiomes d’un H-corps K incluent ceux des corps ordonnés et différentiels, ainsi que deux axiomes spécifiques exprimant la compatibilité entre la dérivation et l’ordre : Soit
C = {f ∈ K : f' = 0},
o = {f ∈ K : |f| ⪇ c pour tout c ∈ C, c ⪈ 0},
O = {f ∈ K : |f| ≤ c pour un certain c ∈ C}.
On exige : f ⪈ C ⇒ f' ⪈ 0 (pour tout f ∈ K), et O = C + o.
L’ordre sur K induit les relations asymptotiques :
f ≼ g si et seulement si f = O(g) (f est dominé par g),
f ≺ g si et seulement si f = o(g) (f est négligeable devant g).
Pour cette raison, les H-corps constituent un cadre adapté pour l’algèbre différentielle asymptotique.

Des algorithmes ont été développés pour des calculs asymptotiques dans des H-corps spécifiques. L’objectif de la thèse est de généraliser cette théorie de manière abstraite, tout en explorant ses applications aux exemples des transséries et des corps de Hardy.

Nous définirons d’abord un H-corps effectif comme un corps dont les éléments peuvent être représentés sur un ordinateur et pour lequel des algorithmes existent pour les opérations +, -, ×, ∂, et les relations ≤, ≼. Les premières tâches consisteront à montrer que la clôture réelle d’un H-corps effectif reste effective, et qu’il est possible de clôturer de manière effective sous l’intégration et l’exponentiation.

Nous poursuivrons ensuite avec l’étude d’équations différentielles asymptotiques générales. Tout H-corps K peut être plongé dans une extension H-clos K̂, telle que toute équation différentielle asymptotique sur K̂ admettant une solution dans une extension de K̂ en admet déjà une dans K̂. Idéalement, ce travail aboutira à un algorithme général pour résoudre de telles équations sur K dans sa H-clôture. Si K est un so
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